Новости Основы Диагностика Средства Литература О сайте

ВЭЙВЛЕТЫ В ВИБРАЦИОННОЙ ДИНАМИКЕ МАШИН

ПРЫГУНОВ А. И.
проф., докт. техн. наук, зав. кафедрой технической механики
Мурманского государственного технического университета
Alexander.Prygunov@mstu.edu.ru
      Целью настоящей работы является представление вэйвлет анализа сигналов не как экзотического и малопонятного по целеполаганию метода, а как естественного продолжения и развития традиционных методов анализа нестационарных сигналов. Наряду с доступным изложением теоретических основ вэйвлет анализа, в статье представлены примеры его применения в практике анализа вибрации машин, изложены принципы вэйвлет ориентированных методик виброакустической диагностики

      При анализе стационарных сигналов, как правило, бывает достаточно применения спектрального анализа на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). Основными проблемами при этом являются: увеличение отношения сигнал-шум, которое достигается путём усреднения и синхронного накопления и малая разрешающая способность анализа в высокочастотной области, что требует применения процедур детектирования (анализ огибающей). Традиционный спектральный анализ не эффективен для нестационарных сигналов с временным масштабом нестационарности много меньшим продолжительности подлежащей анализу реализации. Это связано с усреднением мощности флуктуаций при спектральном анализе (спектр мощности) по всему времени наблюдения сигнала.
      Наиболее очевидным путём применения БПФ к анализу нестационарных сигналов является разбиение реализации на отдельные короткие равно длинные участки с последующим применением алгоритма БПФ к каждому из них. Этот приём широко известен в практике анализа сигналов как БПФ на коротких реализациях (Short time FFT). Отличительной особенностью анализа на коротких реализациях является необходимость применения сглаживающих окон (например, окон Хемминга, Ханна, окна "flet-top" и др.). Как известно, без них усиливается влияние эффекта растекания дискретных составляющих в боковые лепестки. Ограниченное число участков разбиения (число спектров) ограничивает разрешающую способность анализа во временной области, поэтому в дальнейшем был предложен ряд алгоритмов анализа со скользящими сглаживающими и усредняющими окнами. Наиболее известными являются наиболее ранний вариант анализа со скользящим гауссовским окном Габора и наиболее развитый и эффективный анализ этого типа известный как распределение Вигнера-Вилли (WW Distribution). Применение алгоритмов анализа со скользящими окнами позволяет существенно увеличить разрешающую способность анализа во временной области при сохранении достаточно высокого разрешения в частотной области, однако сопряжено со значительным увеличением объёма вычислений, а следовательно и с увеличением времени расчёта. Рассмотренные методы анализа широко применяются при углублённом анализе сигналов во время-частотной области, например при распознавании речи, но обычно не подходят для решения задач диагностики, так как анализ не удовлетворяет требованию оперативной выработки на основе его результатов интегрального диагностического признака. Получаемые в результате анализа трёхмерные (частота-время-амплитуда) образы достаточно сложны для формального распознавания. Несмотря на то, что вэйвлет анализ так же может быть отнесён к методам время-частотного анализа, мы покажем, что на его основе, с учётом внутренне присущего ему октавного (кратно октавного) частотного темпа анализа, характерного для традиционного анализа акустических сигналов, возможно получение признаков эволюции сигналов вибрации пригодных в том числе и для решения задач вибродиагностики.
      По своей сути вэйвлет представляет собой ортогональный базис разложения функций в функциональном гильбертовом пространстве элементы которого определяются параметрами a, b и задаются выражением

где
- производящая или материнская функция.

      Следует отметить, что широкое использование в качестве базиса разложения гармонических функций (разложение Фурье) создаёт иллюзию его единственности. В настоящее время осознана необходимость использования в ряде случаев других базисов разложения, например разложения в базисах функций Уолша или Хара. Вэйвлет декомпозиция должна рассматриваться как один из методов анализа в нетрадиционном базисе, однако этот метод имеет ряд принципиальных преимуществ.
      В качестве производящей функции вэйвлета можно использовать её основной вариант, известный как функция Морле, которую можно записать в виде:

где t - время в с.

      Анализ функции (2) показывает, что она представляет собой гармонику с частотой f0 под окном . Форма этого окна близка к форме окна Габора (гауссовский колокольчик). На рис. 1а приведён вид реальной части функции (2), который и называют вэйвлетом или всплеском. Следует отметить, что выбор значения f0 задаёт соотношение между эффективной шириной этого окна и периодом гармоники. В нашем случае эффективная ширина окна во временной области принята равной периоду анализируемой гармоники, что соответствует максимальной разрешающей способности анализа по времени.



Рис. 1.

      Если принять значение параметра шкалы a = 2 - j/B и параметра временной локализации b = 2 - j/B k, где j, k - натуральные числа; B-число полос анализа приходящихся на октаву, то выражение для коэффициентов декомпозиции сигнала x(t) в базисе примет вид:

где

или

где

где B-число полос, приходящихся на одну октаву; n и b- целые числа, соответствующие текущему номеру отсчёта на реализации и номеру отсчёта, соответствующему максимуму окна короткой волны на реализации, соответственно; звездочка означает процедуру комплексного сопряжения. Анализ выражений (3), (4) показывает, что вэйвлет-декомпозиция при соответствующем выборе

становится аналогичной преобразованию Фурье на коротких реализациях со специфическим нелинейным в смысле зависимости от частоты усредняющим окном (вэйвлет окном)

В этом и заключается суть отличия вэйвлет декомпозиции от преобразования Фурье на коротких реализациях. Изменение геометрии окна при фиксированной позиции во времени (b=const) позволяет как бы всматриваться в сигнал по частоте в темпе октавы или её кратностей.       Вэйвлет анализ является важным прорывом в понимании процедур распознавания образов человеком и животными, что привело к широкому использованию его в разработке систем искусственного интеллекта. Однако от вэйвлета не следует ожидать чудес. По-прежнему, частотным пределом анализа является частота Найквиста.
      Отличительной особенностью вэйвлет анализа является его высокая чувствительность к кратковременным высокочастотным флуктуациям сигнала, так как вэйвлет окно обеспечивает адекватную оценку таких флуктуаций за счёт одновременного увеличения амплитуды окна при уменьшении его ширины (рис. 2а). В этой связи следует отметить, что в связи с вэйвлет анализом часто упоминают принцип неопределённости Гейзенберга. Разрешающая способность анализа во временной области возрастает с ростом частоты. В этом заключается принципиальное отличие вэйвлет анализа от преобразования Фурье на коротких реализациях при котором разрешающая способность анализа по времени не зависит от частоты и связана только с разрешающей способностью анализа в частотной области, абсолютное значение которой не зависит от частоты (рис. 2б).

a)

b)

Рис. 2. Решётки дискретных состояний (j,b) в зависимости от типа преобразования ( j - по вертикали, b - по горизонтали)

      Рассмотрим вариант октавного анализа (B=1) в характерном для виброакустики диапазоне частот до 10 кГц. Пусть длина реализации tн= 5 с, интервал между отсчётами в соответствии с теоремой Найквиста h = 50 мкс, тогда мощность реализации Q=105 отсчётов, jmin = 1, jmax = j = log2(10000/0,6)14. Записанное в конечных разностях соотношение (3) с учётом (4) при B=1 приводит к выражению для коэффициентов разложения

где N-часть реализации Q , находящаяся под окном (4).
      Разрешающая способность анализа во времени зависит от частоты (от параметра j, так же называемого "шкалой") в соответствии с выражением

Так, для j=14 b=1 или 50 мкс, при j=1 b=213=8192 или 410 мс, поэтому для максимальной частоты (10 кГц) мы должны рассчитать 105 коэффициентов на реализацию, а для минимальной частоты (0,6 кГц) - лишь 11 коэффициентов на реализацию (рис. 2а).
      Из рассмотренного примера ясно, почему вэйвлет анализ называют "частотным микроскопом". Даже в октавном варианте он обеспечивает высокую чувствительность к высокочастотным флуктуациям сигнала при одновременно высоком разрешении их во времени.
      В то же время, анализ имеет малую разрешающую способность по частоте. Так, j=14 соответствует частота f 10 кГц, а j=13 уже соответствует частота f 5 кГц. Если высокочастотная флуктуация имеет определённую частоту (узкополосная флуктуация) с частотой, не совпадающей с указанными выше, мы получим заниженную оценку амплитуды флуктуации. К счастью, для вибрации машин в основном характерны широкополосные высокочастотные флуктуации, что делает это замечание применительно к вибродиагностике несущественным. Поэтому однозначно можно рекомендовать использовать октавный вэйвлет анализ для исследования распределения высокочастотных флуктуаций сигналов вибрации машин во времени. Проигрывая в разрешении по частоте, мы выигрываем при этом в разрешении по времени.
      Если рассматривать низкочастотные и среднечастотные колебания в машинах, то в основном они представляют собой суперпозицию гармоник (основных и высших) или суперпозицию узкополосных процессов с кратными частотами (частоты вращения, зубцовые, лопастные частоты и их высшие гармоники). Поэтому для адекватной оценки амплитуд гармоник при анализе в этих частотных областях необходимо обеспечить большую разрешающую способность анализа по частоте. Этого можно достичь путём использования кратного октавного анализа (1/3-октавного, 1/6-октавного, 1/12-октавного). При этом столь же кратно возрастают и объёмы вычислений.
      Опыт работы с преобразованием (3), (4) привёл к выводу о том, что в большинстве случаев для оценки эволюции низко- и среднечастотной вибрации во времени достаточно проведения анализа для основной и трёх высших гармоник колебания. Это достигается при 1/3-октавном вэйвлет анализе. Номер треть-октавной полосы, соответствующей основной гармонике колебания найдём из соотношения

которое отличается от соотношения (5) тем, что здесь подчёркнута необходимость выделения целой части из соотношения (5). В свою очередь, выделение целой части (округление в меньшую сторону) приводит к тому, что частоты под второй экспонентой выражения (4) могут существенно отклоняются от истинных частот гармоник. Поэтому для анализа сигналов в низко- и среднечастотной областях мы предлагаем использовать преобразование

где f- частота основной гармоники; l - номер гармоники; N-часть реализации Q, находящаяся под окном (4), определяется, исходя из принятого значимого отклонения от нуля функции окна, асимптотически стремящейся к нулю на бесконечности. В частности, мы принимаем N из условия

Анализ выражения (9) показывает, что в таком виде вэйвлет анализ может рассматриваться как разновидность время - частотного анализа со скользящим окном (4), обладающим свойствами вэйвлета. При этом настройка окна полосовая (треть-октавная), а настройка частоты анализа точная. Для фиксированного значения b коэффициенты вэйвлета для основной гармоники wj1,bи трёх высших гармоник wj2,b , wj3,b , wj4,b могут быть найдены из выражения (9) при j1 = int{B[log2 (f/f0)]}int[3(log2 f)+2,2]; j2= j1+3; j3= j1+5; j4= j1+6, где f- частота основной гармоники. Время на выполнение такого расчёта на несколько порядков меньше, чем время на расчёт (7). На рис. 1б приведены функции окна для четырёх гармоник (основной и трёх высших), на рис. 1в приведены соответствующие вэйвлеты (всплески), мерой корреляции сигнала с которыми в текущий момент времени являются коэффициенты wjl,b. В этом принципиальное отличие вэйвлет анализа от Фурье анализа.
      Если в случае цифрового Фурье анализа коэффициенты Фурье должны рассматриваться как мера корреляции сигнала с соответствующей не локализованной во времени гармоникой, то в случае вэйвлет анализа, речь идёт о мере корреляции с соответствующими локализованными во времени всплесками (рис. 1в).
      Рассмотрим примеры применения вэйвлет анализа к исследованию акустической динамики машин и к решению задач вибродиагностики.

      1. Малая нестационарность (машины роторного типа).
      В качестве примера рассмотрим вибрацию кормового подшипника главного турбогенератора атомного ледокола "Ямал" . Генератор находится в одном помещении со вспомогательными генераторами. В силу недостаточной жёсткости судовых фундаментов исключить связь между генераторами по фундаменту нельзя, что может привести к нежелательному режиму биений между ними. В целях уменьшения риска биений частоты вращения генераторов существенно разнесены. Если частота вращения вспомогательных генераторов 3000 об/мин, то частота вращения главных генераторов 3600 об/мин. Тем не менее в ряде случаев затягивание в режим биений опасный для машин и конструкций может происходить и при этой разнице частот.

Рис. 3

      На рис. 3 приведён спектр продольной виброскорости кормового подшипника. Наличие двух дискретных составляющих сравнимых уровней на частотах 60 Гц и 50 Гц в спектре не исключает возможности установления режима биений. Ниже узкополосного спектра приведён время-частотный спектр того же сигнала по алгоритму БПФ с окном "flet-top". Из него невозможно сделать однозначного вывода о наличии биений, но признаки нестационарности имеются.


Рис. 4

      На рис. 4а приведены результаты анализа (9) для гармоник частоты вращения главного генератора. Очевидно наличие биений на основной частоте с частотой 10 Гц, но кроме этого отмечены более низкочастотные (2 Гц) биения, которые практически не видны в спектре. Нестационарный характер эволюции во времени высших гармоник частоты вращения свидетельствует о существенном влиянии биений на динамику узла, поэтому должны быть приняты меры для устранения биений (снижение виброактивности машин, увеличение жёсткости фундамента). На рис. 4б для сравнения приведены результаты аналогичного анализа для носового подшипника того же генератора. Очевиден её стационарный характер.
      Другой пример иллюстрирует высокую эффективность анализа в области предельных (преднайквистовых) частот.


Рис. 5

      На рис. 5 приведены результаты анализа виброускорения центробежного насоса в предкавитационном состоянии. В качестве частоты анализа принята лопастная частота 300 Гц и её высшие гармоники. Частота Найквиста для рассматриваемой реализации 2000 Гц. Очевидна достаточная стабильность лопастной частоты (заметны небольшие изменения уровня с частотой вращения). Однако вибрация на частоте 1800 Гц, характеризующая кавитацию носит явно нестационарный характер. Отмечено два кавитационных хлопка на фазе работы одной-двух лопастей. Интервал времени между хлопками примерно равен двум периодам вращения ротора насоса. Высокая разрешающая способность анализа во времени позволяет подробно проанализировать динамику развития кавитационных хлопков. Очевидно, что вэйвлет анализ в полосе 1800 Гц может быть эффективным методом диагностики кавитации в насосе уже на стадии её зарождения. Интересно, что профессор из Гонконга по фамилии Тсе (Tse) рекомендует просто прослушивать результаты вэйвлет фильтрации в определённых полосах и даже создал на этой основе недорогой портативный вэйвлет-стетоскоп. Никакой другой метод не обеспечивает такой эффективности анализа на предельных частотах.

      2. Фазово локальная нестационарность (ДВС)
      Поршневые машины характеризуются фазово детермированной динамикой поэтому анализ их вибрации наиболее целесообразно проводить во время-частотной области с фазовым селектированием. На рис. 6 приведены результаты вэйвлет анализа виброускорения цилиндровой втулки крупного судового дизеля. Собственная частота колебаний втулки 360 Гц, поэтому анализ проведён именно для этой частоты. Там же приведены результаты анализа по алгоритму БПФ с окном "flet-top".


Рис. 6

      Очевидно, что собственная частота возбуждена на достаточно коротких фазовых интервалах, причём в моменты вспышки уровни высших гармоник так же высоки, что свидетельствует о существенном отклонении формы колебаний в этот фазовый момент от гармонической. Однако, в области низких цилиндровых давлений имеется ряд импульсов близких к чистому тону на частоте 360 Гц, что по нашему мнению можно использовать для диагностики состояния втулки (например, трещина), процессов газообмена (впуск, выпуск), состояния клапанов. На рис. 7 приведены результаты анализа пульсаций давления в воде системы охлаждения вблизи цилиндровой втулки того же дизеля.


Рис. 7

      Частота пульсаций соответствует субгармонике собственной частоты втулки (180 Гц). Очевидна большая инерционность этого процесса, так как частота остаётся возбужденной на больших фазовых интервалах. Это позволило нам сделать вывод о возможности существования диссипативной структуры в охлаждающей воде по типу ячеек Бенара или вихрей Тейлора но связанная с процессом переноса импульса от втулки к блоку через слой жидкости.
      Другим примером из области ДВС является возможность косвенного индицирования двигателей по сигналу вибрации. На рис. 8 представлены результаты анализа виброскорости блока трёхцилиндрового четырёхтактного дизеля с частотой вращения 600 об/мин при различном качестве его регулировки. Основная частота анализа соответствовала частоте вспышек в дизеле 3*10/2=15 Гц, анализ проведён до четвёртой гармоники.

Рис. 8

Наиболее интересные результаты получены для третьей гармоники. При введении разрегулировки по цилиндровой мощности (Pi) у третьей гармоники появляется явная фазовая нестационарность (тёмная зона) с фазовым масштабом порядка фазы работы одного цилиндра. Разрегулировка по максимальному давлению практически не влияет на исходную картинку. Однако введение дополнительной разрегулировки в том же цилиндре по максимальному давлению (Pz) усиливает неоднородность, резко оконтуривая тёмную зону с двух сторон. Следует отметить, что в практических приложениях наиболее важна косвенная индикация разрегулировки по цилиндровой мощности, которая может приводить, в частности, к пережогу топлива. Разрегулировка по максимальному давлению обычно достаточно хорошо оценивается субъективно как жёсткая работа двигателя. Чувствительность метода можно повысить путём применения фазового усреднения (синхронного накопления) результатов на продолжительных интервалах времени.

      3. Существенная нестационарность (нелинейные резонансы)
      В качестве примера рассмотрим вибрацию валогенератора рыбопромыслового судна, имеющего в составе привода упругую муфту с высокой нелинейной податливостью. На рис. 9 приведены результаты анализа вертикальной виброскорости на носовом подшипнике валогенератора траулера проекта "Иван Шаньков". Очевиден нестационарный характер вибрации. В спектре видны три частотные области колебаний 15-18 Гц, 25-28 Гц, 38-42 Гц. Поэтому анализ был проведён для основных частот 17 Гц, 26 Гц, 40 Гц. Из результатов видно, что регулярную нестационарность с частотой вращения гребного дизеля имеет только основная частота 26 Гц, что примерно соответствует частоте вращения валогенератора 1500 Гц . Поэтому область 25-28 Гц является областью вынуждающего воздействия на нелинейную систему. Частота 40Гц практически не содержит супергармоник, при этом характер изменения во времени основной гармоники для этой частоты сходен с изменением второй гармоники для частоты 17 Гц, что приводит к выводу о том, что области 15-18 Гц и 38-42 Гц являются областями собственных частот нелинейной системы. Две области резонансных частот не находящиеся в отношении точной кратности характерны для резонансов в механических системах. О том, что система нелинейна свидетельствует отсутствие точного значения собственной частоты, так как оно плавает в зависимости от амплитуды колебаний (см. результат для основной частоты 17 Гц). Следует отметить, что визуальный взгляд на виброграмму не обещал таких сложностей при анализе сигнала.






Сверху вниз:
- нестационарный сигнал;
- результаты анализа для частоты 40 Гц;
- результаты анализа для частоты 26 Гц;
- результаты анализа для частоты 17 Гц;
- спектр сигнала (частоты отмечены соответственно их уменьшению от залитого прямоугольника через крест к не залитому прямоугольнику).

Рис. 9

 
 Ваши отзывы и предложения ждем по адресу: mail@vibration.ru Cайт поддерживается ООО «ИНКОТЕС»